树的中心点问题

常见套路:

N-1条公路连接着N个城市，从每个城市出发都可以通过公路到达其它任意的城市。每个城市里面都有一定数量的居民，但是数量并不一定相等，每条公路的长度也不一定相等。X公司（或者是政府）决定在某一个城市建立一个医院/酒厂/游乐场……，问：将它建在哪里，可以使得所有的居民移动到那里的总耗费最小？这种题目都是本题的“变型”，一般称为“树的中心点问题”。

例题：

P1364 医院设置 - 洛谷

DP状态转移解释:

dis[e[i].to]表示子节点作为医院时的距离和
转移公式：dis[子节点] = dis[父节点] + pre[1] - 2*pre[子节点]
其中pre[1]是整棵树的总入口数，这个公式的含义是：
- 当医院从父节点移动到子节点时，子树内的节点到医院的距离减少了，子树外的节点到医院的距离增加了
- 距离和的变化量为：子树外的人口数 - 子树内的人口数 = (pre [1]-pre [子节点]) - pre [子节点] = pre [1]-2*pre [子节点]

STD:

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#include <bits/stdc++.h>
#define endl "\n"
#define int long long
using namespace std;
const int N = 2e5+10;

int n;
vector<int> g[N];
int vals[N];
int dep[N];
int len[N];
int dis[N];
int ans;
void dfs(int x,int fa)
{
    dep[x] = dep[fa]+1;
    for(auto t : g[x])
    {
        if(t==fa) continue;
        dfs(t,x);
        len[x] += len[t];
    }
}

void dp(int x,int fa)
{
    for(auto t : g[x])
    {
        if(t==fa) continue;
        dis[t] = dis[x]+len[1]-len[t]-len[t];
        if(dis[t] < ans) ans = dis[t];
        dp(t,x);
    }
}

void solve()
{
    cin >> n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int u,v;
        cin >> vals[i] >> u >> v;
        len[i] = vals[i];
        if(u)
        {
            g[i].push_back(u);
            g[u].push_back(i);
        }
        if(v)
        {
            g[i].push_back(v);
            g[v].push_back(i);
        }
    }
    dfs(1,0);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        dis[1] += (dep[i]-1)*vals[i];
    ans = dis[1];
    dp(1,0);
    cout << ans << endl;
}

signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0),cout.tie(0);
    int _ = 1;
    //cin >> _;
    while(_--)
    {
        solve();
    }
    return 0;
}

树的中心点问题（含P1364 医院设置题解）

图论

树的中心点问题

常见套路:

例题：

DP状态转移解释:

STD: